试证明: 设f(x)定义在(a b)上 则其第一类间断点是可数的.

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试证明:设f(x)定义在(a,b)上,则其第一类间断点是可数的.

热搜:质量为m的物体a在水平力F的作用下,恰好沿竖直

答案解析

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  • [证明] 作点集如下:latex.action?latex=KGYoeCswKVxiZWdpbnthcnJheX17Y31cYmlndHJpYW5nbGV1cCBcXD1cZW5ke2FycmF5fVxsaW1f%0D%0Ae3TihpJ4K31mKHQpKQ%3D%3D
       E1={x∈(a,b):f(x+0)>f(x)},
       E2={x∈(a,b):f(x+0)<f(x)},
       E3={x∈(a,b):f(x-0)>f(x)},
       E4={x∈(a,b):f(x-0)<f(x)},
       这些都是可数集,以E1为例证明此结论.对x∈E1,取ε>0以及l,L满足
       f(x)<l<L<f(x+0),f(t)>L  (x<t<x+ε),
       并作矩形Ix=(x,x+ε)×(l,L),易知
       1.1853AE2.jpg(x,y∈E1,x≠y).
       从而只需在Ix中取有理数为坐标的点,即可证得.