设n次多项式方程p(x)=0的n个根均为实数 它们是 ξ1≥ξ2≥…≥ξn n≥2.
多项式,实数,方程
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可写p(x)为
求导得
当x>ξ1.时,
牛顿迭代公式为
,k=0,1,2,… (2.33)
因而
(2.34)
另外
其中η0∈(ξ1,x0).由及上式得
x1-ξ1>0, (2.35)
综合(2.34)和(2.35)式有
ξ1<x1<x0.
类似地,如果ξ1<xk,可证有ξ1<xk+1<xk.这就说明{xk}严格单调下降以ξ1为下界,因而必收敛.设,易知
.
在(2.33)式的两边取极限得
因而,即
为p(x)=0的根.故
.综上,我们得到迭代序列严格单调递减收敛于ξ1.$当x<ξn时,
因而
(2.36)
另外
其中∈(x0,ξn).由
及上式得
x1-ξn<0, (2.37)
综合(2.36)和(2.37)式有
x0<x1<ξn.
类似地可证明若xk<ξn,有xk<xk+1<ξn.因而{xk}严格单调递增并以ξn为上界.类似于(1)的证明有.
