设A B均为m×n矩阵 求证:r(A+B)≤r(A)+r(B).

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设A,B均为m×n矩阵,求证:r(A+B)≤r(A)+r(B).

热搜:a是b的充分条件,b是a的必要条件吗

答案解析

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  • 设m×n矩阵A,B及A+B的列向量组分别为
       α1,α2,…,αn    ①
       β1,β2,…,βn    ②
       γ1,γ2,…,γn    ③
       其中γi=αi+βi(i=1,2,…n).又设A,B的秩分别为s,t,而且不妨设α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt,分别为向量组①与②的极大无关组.由于向量组③可由向量组
       α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βn
       线性表出,从而可由
       α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt    ④
       线性表出,所以向量组③的秩即A+B的秩不会超过向量组④的秩,从而不会超过向量组④中向量的个数s+t,即r(A+B)≤s+t=r(A)+r(B).