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试确定下列系统平衡状态的稳定性： x1（k＋1)=x1（k)＋3x2（k) x2（k＋1)=－3x1（k)－2x2（k)－3x3（k) x3（k＋1)=x1（k)

大学 2021-09-01 14:51:25 稳定性,状态,系统已帮助人

试确定下列系统平衡状态的稳定性：

x₁(k+1)=x₁(k)+3x₂(k)

x₂(k+1)=-3x₁(k)-2x₂(k)-3x₃(k)

x₃(k+1)=x₁(k)

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答案解析

难度★★☆ 搜索

设 $latex.action?latex=Rz1cbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2NjY30xICYzICAmMCBcXC0zICYtMiAgJi0zIFxcMSAmMCAg%0D%0AJjBcZW5ke2FycmF5fVxyaWdodF0%3D$ ，则detG=-9≠0，即G非奇异，设实对称矩阵
$latex.action?latex=UD1cbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2NjY31wX3sxMX0gJnBfezEyfSAgJnBfezEzfSBcXHBfezEy%0D%0AfSAmcF97MjJ9ICAmcF97MjN9IFxccF97MTN9ICZwX3syM30gICZwX3szM31cZW5ke2FycmF5fVxy%0D%0AaWdodF0%3D$ ， $latex.action?latex=UT1cbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2NjY30xICYwICAmMCBcXDAgJjEgICYwIFxcMCAmMCAgJjFc%0D%0AZW5ke2FycmF5fVxyaWdodF0%3D$
利用定理有GTPG-P=-Q，即
$latex.action?latex=XGxlZnRbXGJlZ2lue2FycmF5fXtjY2N9MSAmMyAgJjAgXFwtMyAmLTIgICYtMyBcXDEgJjAgICYw%0D%0AXGVuZHthcnJheX1ccmlnaHRdXlRcbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2NjY31wX3sxMX0gJnBfezEy%0D%0AfSAgJnBfezEzfSBcXHBfezEyfSAmcF97MjJ9ICAmcF97MjN9IFxccF97MTN9ICZwX3syM30gICZw%0D%0AX3szM31cZW5ke2FycmF5fVxyaWdodF1cbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2NjY30xICYgMyAmMCBc%0D%0AXC0zICYtMiAgJi0zIFxcMSAmMCAgJjBcZW5ke2FycmF5fVxyaWdodF0tXGxlZnRbXGJlZ2lue2Fy%0D%0AcmF5fXtjY2N9cF97MTF9ICZwX3sxMn0gICZwX3sxM30gXFxwX3sxMn0gJnBfezIyfSAgJnBfezIz%0D%0AfSBcXHBfezEzfSAmcF97MjN9ICAmcF97MzN9XGVuZHthcnJheX1ccmlnaHRd$
$latex.action?latex=PVxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y2NjfS0xICYwICAmMCBcXDAgJi0xICAmMCBcXDAgJjAgICYt%0D%0AMVxlbmR7YXJyYXl9XHJpZ2h0XQ%3D%3D$
解得
$latex.action?latex=UD1cbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2NjY31cZnJhY3szMX17NzJ9ICYtXGZyYWN7N317MTQ0fSAg%0D%0AJi1cZnJhY3syfXszfSBcXC1cZnJhY3s3fXsxNDR9ICYtXGZyYWN7MX17MTh9ICAmXGZyYWN7NX17%0D%0ANDh9IFxcLVxmcmFjezJ9ezN9ICZcZnJhY3s1fXs0OH0gICZcZnJhY3sxfXsyfVxlbmR7YXJyYXl9%0D%0AXHJpZ2h0XQ%3D%3D$
可以验证P非正定，所以该系统的平衡状态不稳定。
用MATLAB求解过程如下：
＞＞A=[1 3 0；-3 -2 -3；1 0 0]；
＞＞p=dlyap(A，eye(3))
p=
-2.6859 1.5641 2.0064
1.5641 -1.1538 -1.0897
2.0064 -1.0897 -1.6859