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已知齐次线性方程组（Ⅰ)的基础解系为α1=（1 2 1 0)T α2=（－1 1 1 1)T；齐次线性方程组（Ⅱ)的基础解系为β1=（2 －1

大学 2022-03-03 18:47:32 基础,线性方程组,方程组已帮助人

已知齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系为α₁=(1，2，1，0)^T，α₂=(-1，1，1，1)^T；齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为β₁=(2，-1，0，1)^T，β₂=(1，-1，3，7)^T.记方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的解空间分别为V₁，V₂.试求V₁∩V₂及V₁+V₂的基与维数.

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答案解析

难度★★☆ 搜索

V1=span{α1，α2}，V2=span{β1，β2}.若α∈V1∩V2，则存在数x1，x2，x3，x4，使得
α=x1α1+x2α2=x3β1+x4β4
得齐次线性方程组
x1α1+x2α2-x3β1-x4β4=0
即 $latex.action?latex=XGxlZnRbXGJlZ2lue2FycmF5fXtjY2NjfSAgMSAmIC0xICYgLTIgJiAtMVxcICAgMiAmIDEgJiAx%0D%0AICYgMVxcICAgMSAmIDEgJiAwICYgLTNcXCAgIDAgJiAxICYgLTEgJiAtNyAgXGVuZHthcnJheX1c%0D%0AcmlnaHRd44CAXGxlZnRbXGJlZ2lue2FycmF5fXtjfSAgeF97MX1cXCAgIHhfezJ9XFwgICB4X3sz%0D%0AfVxcICAgeF97NH0gIFxlbmR7YXJyYXl9XHJpZ2h0XT0w$
解得其基础解系为
ξ=(1，-4，3，-1)T
故 $latex.action?latex=XGxlZnRbXGJlZ2lue2FycmF5fXtjfSAgeF97MX1cXCAgIHhfezJ9ICBcZW5ke2FycmF5fVxyaWdo%0D%0AdF09a1xsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y30gIDFcXCAgIC00ICBcZW5ke2FycmF5fVxyaWdodF09%0D%0AXGxlZnRbXGJlZ2lue2FycmF5fXtjfSAga1xcICAgLTRrICBcZW5ke2FycmF5fVxyaWdodF0%3D$ (k为任意常数)
从而V1∩V2中元素均可表示成
x1α1+x2α2=kα1-4kα2=k(α1-4α2)=k(5，-2，-3，-4)T
因此，向量(5，-2，-3，-4)T为V1∩V2的一个基，且dim(V1∩V2)=1.
若β∈V1十V2，面积β=β1+β2，其中β1∈V1=span{α1，α2}，β2∈、V2=span{β1，β2}，可见V1+V2=span{α1，α2，β1，β2}.因此，向量组α1，α2，β1，β2的极大无关组与秩分别就是V1+V2的基与维数，计算可得：α1，α2，β1为V1+V2的一个基，所以dim(V1+V2)=3.V1∩V2即方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解的集合，因此，本题求V1∩V2的基的方法，提供了求两个齐次线性方程组的所有公共解的方法.