设n阶方阵A B可交换 即AB=融 且A有n个互不相同的特征值 证明: (1) A的特征向量都是B的特征向量;(2) B相似

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设n阶方阵A,B可交换,即AB=融,且A有n个互不相同的特征值,证明:

  (1) A的特征向量都是B的特征向量;(2) B相似于对角矩阵.

热搜:n阶方阵a与对角矩阵相似的充要条件

答案解析

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  • 证 由于n阶方阵A有n个互不相同的特征值,故A有n个线性无关的特征向量.若(1) 成立,则n阶方阵B有n个线性无关的特征向量,故(2) 成立,所以只需证明(1) .
       证(1) :设α为A的特征向量,对应的特征值为λ,则Aα=λα,两端左乘B,并利用AB=BA,得A(Bα)=λ(Bα),若Bα≠0,则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量,由题设条件知λ为单特征值,故特征空间Vλ为1维的,因此Vλ中的向量α及Bα成比例,即存在数μ,使得Bα=μα,因此α也是B的特征向量;若Bα=0,则Bα=0α,即α为B的属于特征值0的特征向量,总之,α必为B的特征向量.由于α的任意性,知A的特征向量都是B的特征向量.根据特征值与特征向量的性质5,若λ为A的单特征值,则A的属于特征值λ的线性无关特征向量有1个而且只有1个,即齐次线性方程组(λE-A)x=0的解空间为1维的,亦即特征空间Vλ为1维的.