对下列实对称矩阵A 求：正交矩阵Q 使Q－1AQ为对角矩阵：
矩阵,正交
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对下列实对称矩阵A
，求：正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵：
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矩阵A的特征多项式为
所以A的特征值为λ1=0，λ2=1，λ3=-1．
对于λ1=0，解齐次线性方程组(0E-A)X=0，可得基础解系：α1=(0，1，0)T，
对于λ2=1，解齐次线性方程组(E-A)X=0，可得基础解系：α2=(1，0，1)T，
对于λ3=-1，解的齐次线性方程组(-E-A)X=0，可得基础解系：α3=(-1，0，1)T，
因为特征值相异，所以α1，α2，α3两两正交(因为A为对称矩阵)，只需将α1，α2，α3单位化，得
令
，则Q为正交矩阵，且
$矩阵A的特征多项式
，得A的特征值λ1=λ2=0，λ3=3．
对于λ1=λ2=0，解齐次线性方程组(0E-A)X=0，得基础解系
α1=(-1，1，0)T，α2=(-1，0，1)T．
对于λ1=3，解齐次线性方程组(3E-A)X=0，得基础解系
α3=(1，1，1)T．
将α1，α2正交化，单位化，得
将α3单位化，得
令
，Q为正交阵，且
$矩阵A的特征多项式为
得A的特征值：λ1=-1，λ2=2，λ3=5．
对于λ1=-1，解齐次线性方程组(-E-A)X=0，得它的一个基础解系α1=(2，2，1)T；
对于λ2=2，解齐次线性方程组(2E-A)X=0，得它的一个基础解系α2=(2，-1，-2)T；
对于λ3=5，解齐次线性方程组(5E-A)X=0，得它的一个基础解系α3=(1，-2，2)T．
将α1，α2，α3单位化，可得
令
，Q为正交矩阵，且
$方法同上．取