二次型f(x1 x2 x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3的矩阵A=______ 规范形是_______.

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二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3的矩阵A=______,规范形是_______.

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热搜:二次型是正定二次型的充分必要条件是

答案解析

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  • 正确答案:知矩阵A的特征值是:26一4. 规范形是z12+z22一z32.
    按定义,二次型矩阵由特征多项式知矩阵A的特征值是:2,6,一4.故正交变换下二次型的标准形是2y12+6y22一4y32.所以规范形是z12+z22一z32.或由配方法,有f=2[x22+2x2(x1+2x3)+(x1+2x3)2]+2x32一4x1x3-2(x1+2x3)2=2(x2+x1+2x3)2一2x12一12x1x3—6x32=2(x2+x1+2x3)2一2(x12+6x1x3+9x32)+12x32=2(x2+x1+2x3)2一2(x1+3x3)2+12x32.亦知规范形是z12+z22一z32.