设n为一正整数 问怎样求下列方程式 x+2y+5z+10u+20v+50ω=n的非负整数解组(x y z u v ω)的个数?

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设n为一正整数,问怎样求下列方程式

  x+2y+5z+10u+20v+50ω=n的非负整数解组(x,y,z,u,v,ω)的个数?

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  • 以An表解组的个数,今先求产生An的发生函数.由问题的意思不难看出所要求的发生函数其实就是
       latex.action?latex=RijOtik9XHN1bV97MH1ee%2BKInn1BX3tufc62XntufT0oMSvOtivOtl57Mn0r4oCmK862Xnt4fSvi%0D%0AgKYpKDErzrZeezJ9K862Xns0fSvigKYrzrZeezJ5fSvigKYpw5coMSvOtl57NX0rzrZeezEwfSvi%0D%0AgKYrzrZeezV6fSvigKYpKDErzrZeezEwfSvOtl57MjB9K%2BKApivOtl57MTB1fSvigKYpw5coMSvO%0D%0Atl57MjB9K862Xns0MH0r4oCmK862XnsyMHZ9K%2BKApikoMSvOtl57NTB9K862XnsxMDB9K%2BKApivO%0D%0Atl57NTDPiX0r4oCmKT1cZnJhY3sxfXsoMS3OtikoMS3Otl57Mn0pKDEtzrZeezV9KSgxLc62Xnsx%0D%0AMH0pKDEtzrZeezIwfSkoMS3Otl57NTB9KX0sKHzOtnzvvJwxKQ%3D%3D
       理由是这样:根据幂级数乘法,我们知道乘积级数中ζn项的系数即等于
       latex.action?latex=QV97bn09XHN1bV97eCsyeSs1eisxMHUrMjB2KzUwz4k9bn0x
       其中x,y,z,u,v,ω限定取非负整数值
       因此由泰勒展开定理得
       latex.action?latex=QV97bn09XGZyYWN7MX17biF9Rl57KG4pfSgwKT1cZnJhY3sxfXtuIX0oXGZyYWN7ZH17ZM62fSle%0D%0Ae259XGZyYWN7MX17KDEtzrYpKDEtzrZeezJ9KSgxLc62Xns1fSkoMS3Otl57MTB9KSgxLc62Xnsy%0D%0AMH0pKDEtzrZeezUwfSl9fF97zrY9MH0%3D这便是关于An的一般公式.
       对于一个固定的n(例如n=100)来说,也可以根据逐步展开下列乘积
       (1-ζ50)-1,(1-ζ50)-1(1-ζ20)-1,
       (1-ζ50)-1(1-ζ20)-1(1-ζ10)-1,…的办法来算出An的数值.