设{W（t) t≥0}时参数为σ2的维纳过程 令X（t)=e－αtW（e2αt) t≥0 α＞0为常数 试求X（t)的均值函数 方差函数与自协
函数,方差,常数
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设{W(t)，t≥0}时参数为σ2的维纳过程，令X(t)=e-αtW(e2αt)，t≥0，α＞0为常数，试求X(t)的均值函数，方差函数与自协方差函数。
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正确答案：bsp; 由维纳过程的定义得W(e2αt)～N(0，σ2e2αt)，所以 mX(t)=E[e-αtW(e2αt)]=eq-αtE[W(e2αt)]=e-αt·0=0 DX(t)=D[e-αtW(e2αt)]=e-2αtD[W(e2αt)]=e-2αt·σ2e2αt=σ2 CX(t1,t2)=RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[e-αt1W+(e2αt1)e-αt2W(e2αt2)]=e-α(t1+t2)E[W(e2αt1)W(e2αt2)] 由维纳过程的自相关函数可得 RW(e2αt1,e2αt2)=E[W(e2αt1)W(e2αt2)]=σ2min(e2αt1,e2αt2) 若t1≤t2,则e2αt1≤e2αt2，故Rw(e2αt1,e2αt2)=σ2e2αt1，此时得 CX(t1,t2)=RX(t1,t2)=e-α(t1+t2)σ2e2αt1=σ2e-α(t2-t1) 反之若t2≤t1,则e2αt2≤e2αt1，故Rw(e2αt1 ,e2αt2)=σ2e2αt2，此时得 CX(t1,t2)=RX(t1,t2)=e-α(t1+t2)σ2e2αt2=σ2e-α(t1-t2) 由此可得 CX(t1,t2)=RX(t1,t2)=σ2e-α|t2-t1|