设E×[0 1]上f(x y)满足:f(x y)是x∈E上的可测函数 且f(x y)是y∈[0 1]上的连续函数 试证明: (i)f(x y)是E×[0

大学 连续函数,函数 已帮助 人

设E×[0,1]上f(x,y)满足:f(x,y)是x∈E上的可测函数,且f(x,y)是y∈[0,1]上的连续函数,试证明:

  (i)f(x,y)是E×[0,1]上可测函数.

  (ii)M(x)=max{f(x,y):0≤y≤1}是E上的可测函数.

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答案解析

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  • (i)将[0,1]2n等分:分点k/2n(k=0,1,2,…,2n),作
    fn(x,y)=f(x,k/2n)
    (k/2n≤y<(k+1)/2n,k=0,1,2,…,2n-1),
    则由f对y的连续性可知,fn(x,y)→f(x,y)(n→∞),而fn(x,y)在E×[0,1]上可测.
    (ii)记[0,1]中的有理数为{rn},则M(x)≥sup{f(x,rn)}.又存在yx∈[0,1],使得M(x)=f(x,y)(x∈E).
    对任给ε>0,存在δ>0,使得当|yx-y|<δ时,有
    .
    由此又得.
    总之,我们有.根据f(x,rn)在E上的可测性可知,M(x)在E上可测.