设E×[0 1]上f(x y)满足:f(x y)是x∈E上的可测函数 且f(x y)是y∈[0 1]上的连续函数 试证明: (i)f(x y)是E×[0
连续函数,函数
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设E×[0,1]上f(x,y)满足:f(x,y)是x∈E上的可测函数,且f(x,y)是y∈[0,1]上的连续函数,试证明:
(i)f(x,y)是E×[0,1]上可测函数.
(ii)M(x)=max{f(x,y):0≤y≤1}是E上的可测函数.
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(i)将[0,1]2n等分:分点k/2n(k=0,1,2,…,2n),作
fn(x,y)=f(x,k/2n)
(k/2n≤y<(k+1)/2n,k=0,1,2,…,2n-1),
则由f对y的连续性可知,fn(x,y)→f(x,y)(n→∞),而fn(x,y)在E×[0,1]上可测.
(ii)记[0,1]中的有理数为{rn},则M(x)≥sup{f(x,rn)}.又存在yx∈[0,1],使得M(x)=f(x,y)(x∈E).
对任给ε>0,存在δ>0,使得当|yx-y|<δ时,有
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由此又得.
总之,我们有.根据f(x,rn)在E上的可测性可知,M(x)在E上可测.
