设T是定义在巴拿赫空间E上的有界线性算子 α∈ρ(T) A=R(α T) 设μ λ满足μ(α-β)=1 则μ∈σ(A)的充分必要条件
算子,界线,定义
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设T是定义在巴拿赫空间E上的有界线性算子,
α∈ρ(T), A=R(α,T)
设μ,λ满足μ(α-β)=1,则μ∈σ(A)的充分必要条件是λ∈σ(T)。若μ∈ρ(A),且μ(α-β)=1,则
-
设λ∈ρ(T),μ(α-λ)=1,则(αI-T)(λI-T)-1∈
(E),而
所以μ∈σ(A)
反之,若μEσ(A),由μ(α-λ)=1,μ≠0,则
(μI-A)-1A=[A-1(μI-A)]-1=(μA-1-I)-1
故λ∈ρ(T),所以
现设μ∈ρ(A),μ(α-β)=1,则β∈ρ(T),由上面的推导立即得
(βI-T)-1=μA(μI-A)-1
=μ[-(μI-A)+μI](μI-A)-1
=μ2(μI-A)-1-μI,
所以
