设（A *)是代数系统 其中A={a b c} *是A上的二元运算．对于由表5－30 表5－31 表5－32 表5－33所确定的运算 试分
代数,系统,位元
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设(A，*)是代数系统，其中A={a，b，c}，*是A上的二元运算．对于由表5-30、表5-31、表5-32、表5-33所确定的运算，试分别讨论它们的交换性、等幂性．它们在A中关于*是否有单位元？如果有，那么A中的每个元素是否有逆元．
| 表5-30 | |||
| * | a | b | c |
| a | a | b | c |
| b | b | c | a |
| c | c | a | b |
| 表5-31 | |||
| * | a | b | c |
| a | a | b | c |
| b | b | a | c |
| c | c | c | c |
| 表5-32 | |||
| * | a | b | c |
| a | a | b | c |
| b | a | b | c |
| c | a | b | c |
| 表5-33 | |||
| * | a | b | c |
| a | a | b | c |
| b | b | b | c |
| c | c | c | b |
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①从表5-30可以看出，运算表关于主对角线是对称的，二元运算*具有可交换性，不具有等幂性，例如，b*b=c≠b．
从表5-30还可以看出，元素a所对应的行和列中的元素都与运算表表头的行和列元素相同，故元素a为单位元，元素b与c互为逆元，元素a的逆元为a本身．
②从表5-31可以看出，运算表关于主对角线是对称的，二元运算*具有可交换性，不具有等幂性，例如，b*b=a≠b．
从表5-31还可以看出，元素a所对应的行和列中的元素都与运算表表头的行和列元素相同，故元素a为单位元，元素b的逆元为b本身，元素a的逆元为a本身，元素c无逆元，为零元．
③从表5-32可以看出，运算表关于主对角线是非对称的，二元运算*不具有可交换性，具有等幂性，例如，a*a=a，b*b=b，c*c=c．
从表5-32还可以看出，任何元素所对应的行和列中的元素都与运算表表头的行和列元素不相同，故不存在单位元．因为不存在单位元，故不存在逆元．
④从表5-33可以看出，运算表关于主对角线是对称的，二元运算*具有可交换性，不具有等幂性，例如，c*c=b≠c．
从表5-33还可以看出，元素a所对应的行和列中的元素都与运算表表头的行和列元素相同，故元素a为单位元，元素a的逆元为a本身，元素b、c均无逆元．