设X=BX＋d有惟一解X* 若矩阵B的谱半径ρ（B)＞1 但B有一个特征值λ满足|λ|＜1 求证：存在初始向量X（0) 使得由迭代
特征值,向量,半径
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设X=BX+d有惟一解X*，若矩阵B的谱半径ρ(B)＞1，但B有一个特征值λ满足|λ|＜1，
求证：
存在初始向量X(0)，使得由迭代格式X(k+1)=BX(k)+d (k=0，1，2，…)产生的序列{X(k)}收敛于X*．
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因为X*是X=BX+d的解，故由X*=BX*+d与X(k+1)=BX(k)+d相减有
X*-X(k+1)=B(X*-X(k))=…=BK+1(X*-X(0))．
设B的与λ对应的特征向量为Y，则
BY=λY， Bk+1Y=λk+1Y．
若取初始向量X(0)=X*-Y，则
X*-X(k+1)=Bk+1Y=λk+1Y．
从而X(0)=X*-Y满足条件因为|λ|＜1，故当k→∞时，有
原式→0因而存在初始向量X(0)，使上述收敛法收敛．ρ(B)＞1，则简单迭代法发散的具体含义应理解为不是对任意初始向量都收敛，即也可能存在使简单迭代法收敛的初始向量，事实上本题已明确说明了这一点．为了证明该结论，应将特征值λ与误差|X*-X(K+1)|联系起来，这是因为已无法再按ρ(B)＜1来判断收敛了．