设齐次线性微分方程组x0=A（t)x x∈Rn A（t)在t∈R连续 证明零解稳定的充要条件是它的一个基解矩阵有界。
方程组,微分,矩阵
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设齐次线性微分方程组x0=A(t)x，x∈Rn，A(t)在t∈R连续，证明零解稳定的充要条件是它的一个基解矩阵有界。
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设X(t)为齐次线性微分方程组的一个基解矩阵，于是满足初值条件x(t0)=x0的解
x(t，t0，x0)=X(t)X-1(t0)x0
充分性 设基解矩阵有界，即‖X(t)X-1(t0)‖≤M(t0)(M(t0)与t0有关的正数)。于是，t≥t0取
，当‖x0‖＜δ时，有
‖x(t，t0，x0)‖≤‖X(t)X-1(t0)‖ ‖x0‖＜ε
即零解稳定。
必要性 由零解的稳定可知对ε＞0，，当‖x0‖＜δ时，有‖x(t，t0，x0)‖＜ε
取，
，
那么以x01…，x0n为初值的n个解x(t，t0，x01)，x(t，t0，x02)，…，x(t，t0，x0n)是线性无关的。(由于这n个解的wronski行列式在t0处的值，从而以这n个解为列的矩阵X(t)=(x(t，t0，x01)，…，x(t，t0，x0n))为原线性方程组的一个基解矩阵。
又由于，所以‖x(t，t0，x0k)‖＜ε，其中后=1，2，…，n。即X(t)的每一列均有界，从而矩阵X(t)有界。