设x1（t) x2（t) … xn＋1（t)是非齐次线性方程 x（n)（t)＋a1（t)x（n－1)（t)＋…＋an（t)x（t)=f（t) ① 的在区间[a b]上
设x1(t)，x2(t)，…，xn+1(t)是非齐次线性方程
x(n)(t)+a1(t)x(n-1)(t)+…+an(t)x(t)=f(t) ①
的在区间[a，b]上的n+1个线性无关的解，则方程①在区间[a，b]上的任何解x(t)都可以表示为
x(t)=C1x1(t)+C2x2(t)+…+Cnxn(t)+Cn+1xn+1(t)，
其中 C1+C2+…+Cn+Cn+1=1
反过来，若x1，x2，…，xn，xn+1是①在区间[a，b]上的n+1个线性无关的解，则C1x1+C2x2+…+Cn+1xn+1必为①在区间[a，b]上的解，其中C1+C2+…+Cn+Cn+1=1
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构造函数x1-xn+1，x2-xn+1，…，xn-xn+1显然。它们是①所对应的齐次方程
x(n)(t)+a1(t)x(n-1)(t)+…+an(t)x(t)=0 ②
的n个解，并且在区间[a，b]上线性无关。若不然，假设存在一组不全为零的数C1，C2，…，Cn，使得对任意t∈[a，b]有
C1(x1-xn+1)+C2(x2-xn+1)+…+Cn(xn-xn+1)=0
成立，即
C1x1+C2x2+…+Cnxn-(C1+C2+…+Cn)xn+1=0
与x1，x2，…，xn，xn+1在[a，b]上是线性无关的矛盾。因此①的任一解x(t)可以表示为
x(t)=G1(x1-xn+1)+C2(x2-xn+1)+…+Cn(xn-xn+1)+xn+1
=C1x1+C2x2+…+Cnxn+(1-C1-C2-…-Cn)xn+1
令C1+C2+…+Cn-1=-Cn+1，则x(t)=C1x1+C2x2+…+Cnxn+Cn+1xn+1，
其中C1+C2+…+Cn+Cn+1=1
反过来，若x1，x2，…，xn，xn+1是①在区间[a，b]上的n+1个线性无关的解
设x(t)=C1x1+C2x2+…+Cnxn+Cn+1xn+1，即
x(t)=C1x1+C2x2+…+Cnxn+(1-C1-C2-…-Cn)xn+1
=C1(x1-xn+1)+C2(x2-xn+1)+…+Cn(xn-xn+1)+xn+1
因为C1(x1-xn+1)+C2(x2-xn+1)+…+Cn(xn-xn+1)是齐次方程②的解，所以x(t)是非齐次方程①在区间[a，b]上的解