设(A + ·)是一个环 并且对于任意的a∈A 都有a·a=a 此环称为布尔环. 证明:(1)对于任意的a∈A 都有a+a=0 其中0

大学 布尔,加法,元素 已帮助 人

设(A,+,·)是一个环,并且对于任意的a∈A,都有a·a=a,此环称为布尔环.

  证明:(1)对于任意的a∈A,都有a+a=0,其中0是加法单位元素;

  (2)(A,+,·)是可交换环.

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答案解析

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  • 证明  (1)对于任意的a∈A,都有a+a∈A,故有
       (a+a)·(a+a)=a+a
       a·a+a·a+a·a+a·a=a+a
       a+a+a+a=a+a,
       由此可知:a+a=0.
       (2)对于任意的a,b∈A,都有a+b∈A,故有
       (a+b)·(a+b)=a+b
       a·a+a·b+b·a+b·b=a+b
       a+a·b+b·a+b=a+b    (因a·a=a)
       (a+b)+b·a+b·a=(a+b)
       a·b+b·a=0
       a·b=-b·a.
       又由(1)的结果:(b·a)+(b·a)=0    (因a+a=0)
       (b·a)+(b·a)-(b·a)=0-(b·a)
       b·a=-b·a.
       故有a·b=b·a,因此(A,+,·)是可交换环.这里a·a=a的条件适用于所有A中的元素,如a+a是A的元素(指a+a所得结果,假设为x,因此有(a+a)·(a+a)=a+a)(即相当于x·x=x).