设(A + ·)是一个环 并且对于任意的a∈A 都有a·a=a 这个环称布尔环 证明:
布尔
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设(A,+,·)是一个环,并且对于任意的a∈A,都有a·a=a,这个环称布尔环,证明:
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对于任意的a∈A,都有a+a∈A,故有
(a+a)·(a+a)=a+aa·a+a·a+a·a=a+a
a+a+a+a=a+a由此可知a+a=θ.$对于任意的a,b∈A,都有a+b∈A,故有
(a+b)·(a+b)=a+ba·b+a·b+b·a+b·b=a+b
a+a·b+b·a+b=a+b
(a+b)+a·b+b·a=(a+b)
a·b+b·a=θ
a·b=-b·a,又由(1)的结果(b·a)+(b·a)=
(b·a)+(b·a)=θ-(b·a)=θ-(b·a)
b·a=-b·a,故有a·b=b·a,因此(A,+,·)是可交换环.
