设(A + ·)是一个环 并且对于任意的a∈A 都有a·a=a 这个环称布尔环 证明:

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设(A,+,·)是一个环,并且对于任意的a∈A,都有a·a=a,这个环称布尔环,证明:

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答案解析

难度★★☆ 搜索
  • 对于任意的a∈A,都有a+a∈A,故有
       (a+a)·(a+a)=a+alatex.action?latex=XFJpZ2h0YXJyb3cga·a+a·a+a·a=a+a
       latex.action?latex=XFJpZ2h0YXJyb3cga+a+a+a=a+a由此可知a+a=θ.$对于任意的a,b∈A,都有a+b∈A,故有
       (a+b)·(a+b)=a+blatex.action?latex=XFJpZ2h0YXJyb3cga·b+a·b+b·a+b·b=a+b
       latex.action?latex=XFJpZ2h0YXJyb3cga+a·b+b·a+b=a+blatex.action?latex=XFJpZ2h0YXJyb3cg(a+b)+a·b+b·a=(a+b)
       latex.action?latex=XFJpZ2h0YXJyb3cga·b+b·a=θlatex.action?latex=XFJpZ2h0YXJyb3cga·b=-b·a,又由(1)的结果(b·a)+(b·a)=latex.action?latex=XFJpZ2h0YXJyb3cg(b·a)+(b·a)=θ-(b·a)=θ-(b·a)latex.action?latex=XFJpZ2h0YXJyb3cgb·a=-b·a,故有a·b=b·a,因此(A,+,·)是可交换环.