考虑随机过程Z(t)=Xcosω0t-Ysinω0t 式中X Y是独立的高斯随机变量 均值为0 方差是σ2。试说明Z(t)也是高斯的

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考虑随机过程Z(t)=Xcosω0t-Ysinω0t,式中X,Y是独立的高斯随机变量,均值为0,方差是σ2。试说明Z(t)也是高斯的,均值为0,方差为σ2,自相关函数RZ(τ)=σ2cosω0τ。

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答案解析

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  • (1)E[Z(t)]=E[Xcosω0t-Ysinω0t]=0
       (2)D[Z(t)]=E[Z2(h)]=E[X2cos2ω0t]+E[Y2sin2ω0t]-E[XYsin2ω0t]=σ2
       (3)由于Z(t)是高斯随机变量X,Y的线性组合,因此Z(t)也是高斯的。
       (4)RZ(t,t+τ)=E{[Xcosω0t-Ysinω0t][EXcosω0(t+τ)-Ysinω0(t+τ)]}=E{X2cosω0tcos[ω0(t+τ)])+E{Y2sinω0tsin[ω0(t+τ)]}-E{XYcosω0tsin[ω0(t+τ)]}-E{XYsinω0tcos[ω0(t+τ)]},因为X,Y独立,所以E(XY)=0。
       所以
       RZ(t,t+τ)=σ2cosω0τ