设{X(t) t≥0}为具有增量平稳性的独立增量过程 且X(0)=0 对于任意的s t∈[0 +∞) 试证:

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设{X(t),t≥0}为具有增量平稳性的独立增量过程,且X(0)=0,对于任意的s,t∈[0,+∞),试证:

热搜:t分布是一条以0为中心左右对称的曲线

答案解析

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  • 若s>t,由增量平稳性可得,X(s)-X(t),X(s-t)-X(0)=X(s-t)同分布,故有
       D[X(s)-X(t)]=D[X(s-t)]=σ2(s-t)
       当s<t时,同理可得
       D[X(s)-X(t)]=D[X(t)-X(s)]=D[X(t-s)]=σ2(t-s)
       故
       D[X(s)-X(t)]=σ2|t-s|$设s>t, CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t)=E[X(s)X(t)]-mX(s)-mX(t)=E[(X(s)-X(t)+X(t))X(t)]-mX(s)mX(t)=E[X(s)-X(t)]E[X(t)]+E[X2(t)]-mX(s)mX(t)=[mX(s)-mX(t)]mX(t)+E[X2(t)]-mX(s)mX(t)=E[X2(t)]-mX2(t)=D[X(t)]=σ2t
       当s<t时,同理可得
       CX(s,t)=σ2s
       故
       CX(s,t)=σ2min(s,t)