设f（x y)在（x0 y0)点连续 g（x y)在（x0 y0)点可微 且g（x0 y0)=0 试证 函数f（x y)g（x y)在（x0 y0)点可微．
函数
已帮助 人
设f(x，y)在(x0，y0)点连续，g(x，y)在(x0，y0)点可微，且g(x0，y0)=0，试证，函数f(x，y)g(x，y)在(x0，y0)点可微．
热搜：x理论和y理论的主要观点
-
记 A=f(x0，y0)，
，
令 ε1(x，y)=f(x，y)-A，
则 f(x，y)=A+ε1(x，y)，
g(x，y)-B·(x-x0)+C·(y-y0)+ε2(x，y)d(x，y)
根据题意，当x→x0，y→y0时，ε1(x，y)→0，ε2(x，y)→0．
所以 f(x，y)g(x，y)
=(A+ε1(x，y))[B·(x-x0)+C·(y-y0)+ε2(x，y)d(x，y)]
=AB·(x-x0)+AC·(y-y0),
+ε1(x，y)[B·(x-x0)+C·(y-y0)+ε2(x，y)d(x，y)]
+Aε2(x，y)d(x，y)
其中(x→x0，y→y0)
(x→x0，y→y0)
≤|ε1(x，y)|(|B|+|C|)→0 (x→x0，y→y0)
从而 f(x，y)g(x，y)=AB(x-x0)+AC(y-y0)+o(d(x，y))
即 函数f(x，y)g(x，y)在点(x0，y0)处可微．