证明函数f（z)=u（x y)＋iv（x y)在z0=x0＋iy0处连续的充要条件是：u（x y)和V（x y)在（x0 y0)连续．
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证明函数f(z)=u(x,y)+iv(x，y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是：u(x，y)和V(x，y)在(x0,y0)连续．
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必要性：若f(z)在z0连续，则
由定理一知u(x，y)，u(x，y)在(x0，y0)连续
充分性：若①、②式成立
∴f(z)在点z0连续．
或证：
必要性：若f(z)在z0连续，则使|z-z0|＜δ时|f(z)-f(z0)|＜ε成立，即
(u(x,y)-u(x0,y0))2+(u(x，y)-v(x0，y0))2＜ε2
从而有
|u(x,y)-u(x0,y0)|＜ε
|v(x,y)-v(x0,y0)|＜ε成立，即u(x，y)和v(x．y)在(x0，y0)处连续．
充分性：若u(x，y)，v(x，y)在(x0，y0)处连续，则\forall \varepsilon ＜0,\exists \delta ＞0使|x-x0|2+(y-y0)2＜δ2时有
|u(x,y)-u(x0,y0)|＜ε
|v(x,y)-v(x0,y0)|＜ε
同时成立．即|z-z0|δ时
|u(x,y)-u(x0,y0)|2+|v(x,y),v(x0,y0)|2＜ε2成立，即|f(z)-f(z0)|＜ε成立．所以f(z)在z0处连续．