若向量组A:α1 α2 … αm线性无关 而向量组B:βα1 α2 … αm线性相关 证明：向量β必能由向量组A线性表示 且表示方
向量,线性,表示
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若向量组A:α1，α2，…，αm线性无关，而向量组B:βα1，α2，…，αm线性相关，证明：向量β必能由向量组A线性表示，且表示方式是唯一的.
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[证法1] 因为向量组β，α1，α2，…，αm线性相关，所以存在不全为零的数λ1，λ2，…，λm，λm+1，使
λ1α1+λ2α2+…+λmαm+λm+1β=0
若λm+1=0，则上式化为
λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0
其中λ1，λ2，…，λm不全为零，于是由线性相关的定义知α1，α2，…，αm线性相关，与题设矛盾，所以λm+1≠0，由第一个等式可得
λ1α1+λ2α2+…+λmαm+λm+1β≠0即向量β能由向量组α1，α2，…，αm线性表示．
再证表示式是唯一的．设有两个表示式
β=k1α1+k2α2…+kmαm及β=u1α1+u2α2+…+umαm
两式相减，即得
(k1-u1)α1+(k2-u2)α2…+(km-um)αm=0
因为α1，α2，…，αm线性相关，所以有ki-ui=0，即ki=ui(i=1，2，…，m)．
[证法2] 设A=(α1，α2，…，α3)，B=(α1，α2，…，αm，β)，显然有r(A)≤r(B)．因为向量组A线性无关，所以有r(A)=m；而向量组B线性相关，所以有r(B)＜m+1．从而由m=r(A)≤r(B)＜m+1，得r(B)=m．
由r(A)=r(B)=m知，非齐次方程组
(α1，α2，…，αm)x=β
有唯一解，即向量β能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的．