设α1 α2 … αm－1（m＞3)线性相关 向量组α2 … αm线性无关 试讨论 （1)α1能否由α2 α3 … αm－1线性表示？
设α1，α2，…，αm-1(m＞3)线性相关，向量组α2，…，αm线性无关，试讨论 (1)α1能否由α2，α3，…，αm-1线性表示？ (2)αm能否由α1，α2，…，αm-1线性表示？
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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正确答案：(1)α1能由α2α3…αm-1线性表示。因为α2α3…αm线性无关所以其部分向量组α2α3αm-1也线性无关．又由假设α1α2…αm-1线性相关因此α1能由α2α3…αm-1线性表示． (2)αm不能由α1α2…αm-1线性表示． 用反证法证：设αm能由α1α2…αm-1线性表示即有实数k1k2…km-1使得αm=k1α1+k2α2+…+km-1αm-1 又由(1)α1能由α2α3…αm-1线性表示所以有l2…lm-1使α1=l2α2+l3α3+…+lm-1αm-1 于是αm=k1(l2α2+…+lm-1αm-1)+k2α2+…+km-1αm-1=(k1l2+k2)α2+(k1l3+k3)α3+…+(k1lm-1+km-1)αm-1 即αm能由α2α3…αm-1线性表示这与α2α3…αm线性无关的假设矛盾 故αm不能由α1α2…αm-1线性表示．
(1)α1能由α2,α3,…,αm-1线性表示。因为α2,α3,…,αm线性无关,所以其部分向量组α2,α3,αm-1也线性无关．又由假设α1,α2,…,αm-1线性相关,因此α1能由α2,α3,…,αm-1线性表示．(2)αm不能由α1,α2,…,αm-1线性表示．用反证法证：设αm能由α1,α2,…,αm-1线性表示,即有实数k1,k2,…,km-1使得αm=k1α1+k2α2+…+km-1αm-1,又由(1),α1能由α2,α3,…,αm-1线性表示,所以有l2,…,lm-1使α1=l2α2+l3α3+…+lm-1αm-1,于是αm=k1(l2α2+…+lm-1αm-1)+k2α2+…+km-1αm-1=(k1l2+k2)α2+(k1l3+k3)α3+…+(k1lm-1+km-1)αm-1,即αm能由α2,α3,…,αm-1线性表示,这与α2,α3,…,αm线性无关的假设矛盾,故αm不能由α1,α2,…,αm-1线性表示．