证明：群G是有限群当且仅当G只有有限个子群．
子群,正确答案
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正确答案：若G是有限群则G的子集个数是有限的从而其子群个数当然也是有限的． 反之若群G只有有限个子群则G中显然不能有无限阶元素因为无限循环群有无限个子群．这样G中每个元素的阶都有限．任取a1∈G则（a1）是G的一个有限子群；再取a2∈G一1>于是2是G的一个异于（a1）的有限子群．再取 a3∈G—(a1)∪(a2)同理(a3)又是G的一个异于(a1)(a2)的有限子群．但G只有有限个子群故这种过程不能无限地持续下去从而必存在s使G=(a1)∪(a2)∪…∪(as)而每个(ai)都有限于是G为有限群．
若G是有限群,则G的子集个数是有限的,从而其子群个数当然也是有限的．反之,若群G只有有限个子群,则G中显然不能有无限阶元素,因为无限循环群有无限个子群．这样,G中每个元素的阶都有限．任取a1∈G,则（a1）是G的一个有限子群；再取a2∈G一1>,于是2是G的一个异于（a1）的有限子群．再取a3∈G—(a1)∪(a2),同理(a3)又是G的一个异于(a1),(a2)的有限子群．但G只有有限个子群,故这种过程不能无限地持续下去,从而必存在s使G=(a1)∪(a2)∪…∪(as),而每个(ai)都有限,于是G为有限群．