设H K是群G的两个有限正规子群 并且（H| |K|)=1．证明：如果商群G／H和G／K都是交换群 则G也是交换群
子群,两个,正确答案
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正确答案：因为H ∩ K≤HH ∩ K≤K而H与K又都是有限子群故 |H ∩ K|||H||H ∩ K|||K|． 从而|H ∩ K |||(|H||K|)．但由题设(|H||K|)=1故 |H ∩ K|=1 H ∩ K={e}． 任取ab∈G则由于商群G／H和G／K都是交换群故 abH=baH abK=baK． 且a-1b-1ab∈Ha-1b-1ab∈K从而 a-1b-1ab∈H ∩ K={e}a-1b-1ab=eab=ba． 即G是交换群．
因为H∩K≤H,H∩K≤K,而H与K又都是有限子群,故|H∩K|||H|,|H∩K|||K|．从而|H∩K|||(|H|,|K|)．但由题设(|H|,|K|)=1,故|H∩K|=1,H∩K={e}．任取a,b∈G,则由于商群G／H和G／K都是交换群,故abH=baH,abK=baK．且a-1b-1ab∈H,a-1b-1ab∈K,从而a-1b-1ab∈H∩K={e},a-1b-1ab=e,ab=ba．即G是交换群．