证明反常积分中值定理：若（Ω)是紧的且司度量的连通集 f（M) g（M)在（Ω)上连续 g（M)在（Ω)上不变号 则 ∫（Ω)f（M)
中值,定理,度量
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证明反常积分中值定理：若(Ω)是紧的且司度量的连通集，f(M)，g(M)在(Ω)上连续，g(M)在(Ω)上不变号，则
∫(Ω)f(M)g(M)dΩ=f(p)∫(Ω)g(M)dΩ，其中P∈(Ω)
热搜：反常积分收敛被积函数要求
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设在(Ω)上g(M)≥0，由于(Ω)是紧的可度量的连续集，而f(M)在(Ω)上连续，则f(M)在(Ω)上可取得最大值A及最小值a。即
，a≤f(M)≤A。从而
a∫(Ω)g(M)dΩ≤∫(Ω)f(M)g(M)dΩ≤A∫(Ω)g(M)dΩ
若∫(Ω)g(M)dΩ＞0，上式两边同除以∫(Ω)g(M)dΩ，得
由连续函数的介值定理知，至少存在一点P
∫(Ω)f(M)g(M)dΩ=f(P)∫(Ω)g(M)dΩ
若∫(Ω)g(M)dΩ=0，则由上题知g(M)=0，M∈(Ω)。因此对，恒有∫(Ω)f(M)g(M)dΩ=f(p)∫(Ω)g(M)dΩ=0