求函数z=x2-y2在闭区域x2+4y2≤4上的最大值和最小值

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求函数z=x2-y2在闭区域x2+4y2≤4上的最大值和最小值

热搜:求函数值域有几种方法分别是

答案解析

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  • 当x2+4y2<4时,求出所有的驻点.zx=2x,zy=-2y,令其为0,得驻点(0,0).
       当x2+4y2=4时,由拉格朗日乘数法求出所有可能取得最值的点.
       设拉格朗日函数
       L(x,y,λ)=x2-y2+λ(x2+4y2-4),
       解得x=0,y=±1;x=±2,y=0.
       比较所有可能取得最值的点的函数值,得最小值为-1,最大值为4.