设向量组A:a1 a2 … an是一组n维向量 证明向量组A线性无关的充分必要条件是:任一n维向量均可由它们线性表示.
向量,线性,表示
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设向量组A:a1,a2,…,an是一组n维向量,证明向量组A线性无关的充分必要条件是:任一n维向量均可由它们线性表示.
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证明: 充分性:因任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示,特别地,n维单位坐标向量e1,e2,…,en能由a1,a2,…,an线性表示,a1,a2,…,an线性无关.
必要性:已知n个n维向量a1,a2,…,an线性无关,又设凸为任一n维向量,
则根据课本定理,向量组a1,a2,…,an,b线性相关,且向量b可由a1,a2,…,an线性表示,即任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示.[知识点窍] 向量组线性相关性的证明.
