设向量α=（a1 a2 … an)T β=（b1 b2 … bn)T都是非零向量 且满足条件αTB＝0 记n阶矩阵A＝αβT 求：（I)A2；
向量,矩阵,是非
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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTB＝0，记n阶矩阵A＝αβT，求：
(I)A2；
(II)矩阵A的特征值和特征向量．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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正确答案：(I)由题设αβ都是非零向量且αTβ＝0则βTα=0则A2＝(αβT)(αβT)＝(βTα)αβT＝0即A2为零矩阵． (Ⅱ)由特征值与特征向量的定义设λ为A的特征值x为其相应的特征向量则Ax＝λxx≠0由前述知A2=0从而0＝AAx＝λAx＝λ2x即λ＝0所以A的所有特征值都为0．
(I)由题设，α，β都是非零向量，且αTβ＝0，则βTα=0，则A2＝(αβT)(αβT)＝(βTα)αβT＝0，即A2为零矩阵． (Ⅱ)由特征值与特征向量的定义，设λ为A的特征值，x为其相应的特征向量，则Ax＝λx，x≠0，由前述知A2=0，从而0＝AAx＝λAx＝λ2x，即λ＝0，所以A的所有特征值都为0．