证明(A C)能观的充分必要条件是(A CTC)能观 这里A和C分别是n×n和r×n阶矩阵 CT是C的共轭转置矩阵。

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证明(A,C)能观的充分必要条件是(A,CTC)能观,这里A和C分别是n×n和r×n阶矩阵,CT是C的共轭转置矩阵。

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答案解析

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  • 若系统(A,CTC)能观,则,注意到
       
       从而
       
       于是,系统(A,C)是能观的。
       若系统(A,C)能观,则,而假设系统(A,CTC)不能观,则
       
       从而存在非零向量x,使得
       
       即
       (A-λI)x=0    (5-3-1)
       CTCx=0    (5-3-2)
       由式(5-3-2)得
       xTCTCx=0
       因此
       Cx=0    (5-3-3)
       由式(5-3-2)和式(5-3-3)得
       
       所以
       
       这与系统(A,C)能观相矛盾,因此系统(A,CTC)能观。