证明(A C)能观的充分必要条件是(A CTC)能观 这里A和C分别是n×n和r×n阶矩阵 CT是C的共轭转置矩阵。
矩阵,共轭
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证明(A,C)能观的充分必要条件是(A,CTC)能观,这里A和C分别是n×n和r×n阶矩阵,CT是C的共轭转置矩阵。
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若系统(A,CTC)能观,则
,注意到
从而
于是,系统(A,C)是能观的。
若系统(A,C)能观,则,而假设系统(A,CTC)不能观,则
从而存在非零向量x,使得
即
(A-λI)x=0 (5-3-1)
CTCx=0 (5-3-2)
由式(5-3-2)得
xTCTCx=0
因此
Cx=0 (5-3-3)
由式(5-3-2)和式(5-3-3)得
所以
这与系统(A,C)能观相矛盾,因此系统(A,CTC)能观。
