设f(x1 x2 … xn)是数域F上一个 x元齐次多项式 证明:如果g(x1 x2 … xn)=g(x1 x2 … xn)h(x1 x2 … xn) 则g h也
齐次多项式
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设f(x1,x2,…,xn)是数域F上一个,x元齐次多项式,证明:如果g(x1,x2,…,xn)=g(x1,x2,…,xn)h(x1,x2,…,xn),则g,h也是,n元齐次多项式.
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证 用反证法. 设g,h中至少有一个不是齐次多项式,不妨设h不是齐次多项式,其中
gi(i=1,2,…,s)是齐次多项式;
hj(j=1,2,…,t)是齐次多项式,并且假定
于是
其中g1h1与gsht都不能消去,又显然,这与f是齐次多项式矛盾. 所以g,h都是齐次多项式.
