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对总体X和Y 已知Y=lnX Y～N（μ σ2) 从X中的抽得样本x1 … xn 求E（X)的矩估计和最大似然估计．

大学 2020-07-29 12:56:37 样本,总体,最大已帮助人

对总体X和Y，已知Y=lnX，Y～N(μ，σ²)，从X中的抽得样本x₁，…，x_n，求E(X)的矩估计和最大似然估计．

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答案解析

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E(X)的矩估计显然为 $latex.action?latex=XG92ZXJsaW5le1h9$ ，下边求E(X)的最大似然估计．
因为 $latex.action?latex=RVxsZWZ0KCBYIFxyaWdodCk9RVxsZWZ0KCBlXntZfSBccmlnaHQpPVxpbnRfey1caW5mdHkgfV57%0D%0AK1xpbmZ0eX1lXnt5fVxmcmFjezF9e1xzcXJ0ezJccGkgfVxzaWdtYSB9ZV57LVxmcmFje1xsZWZ0%0D%0AKCB5LVxtdSAgXHJpZ2h0KV57Mn19ezJcc2lnbWEgXnsyfX19ZHk%3D$
作积分变量代换： $latex.action?latex=dD1cZnJhY3t5LVxtdSB9e1xzaWdtYSB9$ ，得
$latex.action?latex=RVxsZWZ0KCBYIFxyaWdodCk9XGludF97LVxpbmZ0eX1eeytcaW5mdHl9ZV57LVxtdSArXHNpZ21h%0D%0AIHR9XGZyYWN7MX17XHNxcnR7MlxwaSB9fWVeey1cZnJhY3t0XnsyfX17Mn19ZHQ9ZV57XG11IH1c%0D%0AaW50X3stXGluZnR5fV57K1xpbmZ0eX1cZnJhY3sxfXtcc3FydHsyXHBpIH19ZV57LVxmcmFje3Re%0D%0AezJ9fXsyfStcc2lnbWEgdH1kdD1lXntcbXUgfVxpbnRfey1caW5mdHl9XnsrXGluZnR5fVxmcmFj%0D%0AezF9e1xzcXJ0ezJccGkgfX1lXnstXGZyYWN7XGxlZnQoIHQtXHNpZ21hICBccmlnaHQpXnsyfX17%0D%0AMn0rXGZyYWN7XHNpZ21hIF57Mn19ezJ9fWR0PWVee1xtdSArXGZyYWN7XHNpZ21hIF57Mn19ezJ9%0D%0AfQ%3D%3D$
对取自X中的样本x1，…，xn，变换到取自总体Y中的样本为：yi=lnxi，i=1，2，…，n．记 $latex.action?latex=XG92ZXJsaW5le3l9PVxmcmFjezF9e259XHN1bV97aT0xfV57bn15X3tpfQ%3D%3D$
先求μ与σ2的最大似然估计，似然函数为
$latex.action?latex=TD1cbGVmdCggeV97MX3vvIxcY2RvdHMg77yMeV97bn3vvJtcbXUg77yMXHNpZ21hIF57Mn0gXHJp%0D%0AZ2h0KT1ccHJvZF97aT0xfV57bn1cbGVmdFsgXGZyYWN7MX17XHNxcnR7MlxwaSB9XHNpZ21hIH1l%0D%0AXnstXGZyYWN7XGxlZnQoIHlfe2l9LVxtdSAgXHJpZ2h0KV57Mn19ezJcc2lnbWEgXnsyfX19IFxy%0D%0AaWdodF09XGxlZnQoIDJccGkgXHNpZ21hIF57Mn0gXHJpZ2h0KV57LVxmcmFje259ezJ9fWV4cFxs%0D%0AZWZ0XHsgLVxmcmFjezF9ezJcc2lnbWEgXnsyfX1cc3VtX3tpPTF9XntufVxsZWZ0KCB5X3tpfS1c%0D%0AbXUgIFxyaWdodCleezJ9IFxyaWdodFx9$
所以 $latex.action?latex=bG5MPS1cZnJhY3tufXsyfWxuXGxlZnQoIDJccGkgXHNpZ21hIF57Mn0gXHJpZ2h0KSAtXGZyYWN7%0D%0AMX17MlxzaWdtYSBeezJ9fVxzdW1fe2k9MX1ee259XGxlZnQoIHlfe2l9LVxtdSAgXHJpZ2h0KV57%0D%0AMn0gXDpcOlw6XDpcOlw6XDpcOlxmcmFje1xwYXJ0aWFsIGxuTH17XHBhcnRpYWwgXG11IH09XGZy%0D%0AYWN7MX17MlxzaWdtYSBeezJ9fVxzdW1fe2k9MX1ee259MlxsZWZ0KCB5X3tpfS1cbXUgIFxyaWdo%0D%0AdCk9XGZyYWN7MX17XHNpZ21hIF57Mn19XHN1bV97aT0xfV57bn1cbGVmdCggeV97aX0tblxtdSAg%0D%0AXHJpZ2h0KQ%3D%3D$
$latex.action?latex=XGZyYWN7XHBhcnRpYWwgbG5MfXtccGFydGlhbCBcbGVmdCggXHNpZ21hIF57Mn0gXHJpZ2h0KX09%0D%0ALVxmcmFje259ezJ9XGNkb3QgXGZyYWN7MlxwaSB9ezJccGkgXHNpZ21hIF57Mn19K1xmcmFjezF9%0D%0AezJcc2lnbWEgXns0fX1cc3VtX3tpPTF9XntufVxsZWZ0KCB5X3tpfS1cbXUgIFxyaWdodCleezJ9%0D%0A$
令 $latex.action?latex=XGZyYWN7XHBhcnRpYWwgbG5MfXtccGFydGlhbCBcbXUgfT1cZnJhY3tccGFydGlhbCBsbkx9e1xw%0D%0AYXJ0aWFsIFxsZWZ0KCBcc2lnbWEgXnsyfSBccmlnaHQpfQ%3D%3D$ ，解得 $latex.action?latex=XG11ID1cZnJhY3sxfXtufVxzdW1fe2k9MX1ee259eV97aX3vvIxcc2lnbWEgXnsyfT1cZnJhY3sx%0D%0AfXtufVxzdW1fe2k9MX1ee259XGxlZnQoIHlfe2l9LVxvdmVybGluZXt5fSBccmlnaHQpXnsyfQ%3D%3D$ 故 $latex.action?latex=XGhhdHtcbXUgfT1cb3ZlcmxpbmV7eX3vvIxcc2lnbWEgXnsyfT1cZnJhY3sxfXtufVxzdW1fe2k9%0D%0AMX1ee259XGxlZnQoIHlfe2l9LVxvdmVybGluZXt5fSBccmlnaHQpXnsyfQ%3D%3D$ 为μ和σ2的最大似然估计．
于是，E(X)的最大似然估计为
$latex.action?latex=XGxlZnQoIEVcbGVmdCggXGhhdHtYfSBccmlnaHQpIFxyaWdodClfe%2BacgOWkp309ZXhwXGxlZnRc%0D%0AeyBcZnJhY3sxfXtufVxzdW1fe2k9MX1ee259bG5zX3tpfStcZnJhY3sxfXtuPTJufVxzdW1fe2k9%0D%0AMX1ee259XGxlZnQoIGxueF97aX0gLVxmcmFjezF9e259XHN1bV97aj0xfV57bn14X3tqfVxyaWdo%0D%0AdCleezJ9IFxyaWdodFx9XDtcO1w7XDtcbGVmdCggZXhwXGxlZnQoIGEgXHJpZ2h0KT1lXnthfSBc%0D%0AcmlnaHQp$ 本题中的Y称服从“对数正态分布”．将总体X中抽得的样本变换到Y上，思路请掌握．求μ和σ2的最大似然估计是正态总体的两个参数的问题，具有一定意义，注意 $latex.action?latex=XGZyYWN7XHBhcnRpYWwgbG5MfXtccGFydGlhbCBcbGVmdCggXHNpZ21hIF57Mn0gXHJpZ2h0KX0%3D$ 是对σ2整体求导．