求函数u=xyz在附加条件1/x+1/y+1/z=1/a(x>0 y>0 z>0 a>0)下的极值

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求函数u=xyz在附加条件1/x+1/y+1/z=1/a(x>0,y>0,z>0,a>0)下的极值

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答案解析

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  • 作拉格朗日函数
       L(x,y,z,λ)=xyz+λ(1/x+1/y+1/z-1/a).
       由 latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31MX3g9eXotXGxhbWJkYSAveF4yPTBcXExfeT14ei1cbGFt%0D%0AYmRhIC95XjI9MFxcTF96PXh5LVxsYW1iZGEgL3peMj0wXGVuZHthcnJheX1cUmlnaHRhcnJvdyB4%0D%0APXk9ej0zYQ%3D%3D
       故(3a,3a,3a)是函数u=xyz在附加条件下的唯一驻点.
       把附加条件确定的隐函数记作z=z(x,y),将目标函数看作u=xy·z(x,y)=F(x,y),再应用二元函数极值的充分条件判断,可知点(3a,3a,3a)是函数u=xyz在附加条件下的极小值点.而所求极值为27a3.拉格朗日乘数法是条件极值的求解方法,它的思想是变条件极值问题为常见的无条件极值问题.