计算∫Γ(2x2+3y2)ds 其中L:x2+y2=2(x+y)

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计算∫Γ(2x2+3y2)ds,其中L:x2+y2=2(x+y)

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答案解析

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  • 这是第一类曲线积分,要将它化为定积分的关键是将曲线L写成参数式,由于L是圆周,故利用圆周的参数式,将其表示为latex.action?latex=eD0xK1xzcXJ0ezJ9Y29zzrgseT0xK1xzcXJ0ezJ9c2luzrg%3D,0≤θ≤2π.因
       latex.action?latex=MnheezJ9KzN5XnsyfSsxMCsyXHNxcnR7Mn0oMmNvc864KzNzaW7OuCktY29zMs64LGRzPVxzcXJ0%0D%0AezJ9ZM64
       于是
       latex.action?latex=4oirX3tMfSgyeF57Mn0rM3leezJ9KWRzPVxpbnRfezB9Xnsyz4B9WzEwKzJcc3FydHsyfSgyY29z%0D%0AzrgrM3Npbs64KS1jb3MyzrhdXHNxcnR7Mn1kzrg9XGludF97MH1eezLPgH0xMFxzcXJ0ezJ9ZM64%0D%0APTIwXHNxcnR7Mn3PgA%3D%3D
       解二  求解第一类线、面积分时,可利用与重积分计算中类似的对称性来简化计算.注意到本题所给曲线是轮换对称的,故latex.action?latex=4oirX3tMfXheezJ9ZHM94oirX3tMfXleezJ9ZHM9XGZyYWN7MX17Mn3iiKtfe0x9KHheezJ9K3le%0D%0AezJ9KWRz,因此
       latex.action?latex=4oirX3tMfSgyeF57Mn0rM3leezJ9KWRzXGZyYWN7XHVuZGVybGluZXvovazmjaLmgKd9fXt9XGZy%0D%0AYWN7NX17Mn3iiKtfe0x9KHheezJ9K3leezJ9KWRzXGZyYWN7XHVuZGVybGluZXvmm7Lnur%2Fmlrnn%0D%0AqIt9fXt9XGZyYWN7NX17Mn3iiKtfe0x9Mih4K3kpZHM%3D
       由于曲线L的重心为(1,1),故latex.action?latex=4oirX3tMfSh4K3kpZHM9KDErMSniiKtfe0x9ZHM9NFxzcXJ0ezJ9z4A%3D,于是
       latex.action?latex=4oirX3tMfSgyeF57Mn0rM3leezJ9KWRzPTIwXHNxcnR7Mn3PgA%3D%3D