设向量组（Ⅰ)：α1 α2 … αr线性无关 且（Ⅰ)可由向量组（Ⅱ)：β1 β2 … βs线性表出.证明：在向量组（Ⅱ)中至少存在一个
向量,线性,存在
已帮助 人
设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，且(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表出.证明：在向量组(Ⅱ)中至少存在一个向量βj，使得向量组α2，α3，…，αr，βj线性无关.
-
证 用反证法.如果对于(Ⅱ)中每个问题βj，都使向量组α2，α3，…，αr，βj线性相关，又因α2，α3，…，αr线性无关，所以βj(j=1，…，s)可由向量组α2，α3，…，αr线性表出，又α1可由(Ⅱ)线性表出，所以α1可由向量组α2，α3，…，αr线性表出，这与向量组(Ⅰ)线性无关矛盾，故存在βj∈(Ⅱ)，使α2，α3，…，αr，βj线性无关.注意本题反证法的假定，“在(Ⅱ)中存在一个向量具有性质P”的反面是“(Ⅱ)中每个向量都不具有性质P”.对于3-13题和3-14题，读者试考虑是否有比反证法更方便的其它证法.