定义在(0 1]×(0 1]上的f(x y)满足:f(x y)是x的(y固定)可测函数 又是y在(0 1]上(x固定)的递增函数 试证明f(x
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定义在(0,1]×(0,1]上的f(x,y)满足:f(x,y)是x的(y固定)可测函数,又是y在(0,1]上(x固定)的递增函数,试证明f(x,y)在(0,1]×(0,1]上可测.
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对每个n∈N,t∈R1,作点集(k=1,2,…,2n)
,
易知Ek(t)是可测集,且
,.又令
,
,
从而对(x,y)∈Bn(t)\An(t),则只有唯一的k,使得x∈Ek(t),f(x,(k-1)/2n)<t,且由f对y的递增性可知,y≤k/2n.又因,f(x,k/2n)≥t,y>(k-1)/2n,所以(x,y)∈Ek(t)×((k-1)/2n,k/2n].这说明
,
,
.
令,则由
(n∈N,t∈R1),
即得所证.
