将函数f(x)=ex展开为x的幂级数 并求出收敛区间.(e=2.718为自然对数的底)

高中 求出,幂级数,对数 已帮助 人

将函数f(x)=ex展开为x的幂级数,并求出收敛区间.(e=2.718为自然对数的底)

热搜:什么是二分法?用二分法求f(x)=0的根,f要满足什么条件?

答案解析

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  • ∵f(x)=ex,
    ∴f′(x)=f″(x)=fn(x)=ex
    ∴f(0)=f′(0)=f″(0)=fn(0)=1
    函数在区间-r≤x≤r上有|fn(x)|=|ex|≤er(n=1,2)
    所以函数ex可以在区间[-r,r]上展开成幂级数,
    因为r>0是任意的,
    所以,函数ex在区间(-∞,+∞)上可展成幂级数,
    特别的它的马克劳林级数是ex=1+x+x22!+x33!++xnn!+.