设α1 … αn－1是Rn中的线性无关向量组 n维实向量βj（j=1 2)与α1 … αn－1均正交 证明：β1与β2线性相关.
向量,线性,正交
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设α1，…，αn-1是Rn中的线性无关向量组，n维实向量βj(j=1，2)与α1，…，αn-1均正交，证明：β1与β2线性相关.
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证 由于，n+1个n维向量α1，…，αn-1，β1，β2必线性相关，故存在不全为零的常数k1，…，kn-1，λ1，λ2，使得
k1α1…+kn-1αn-1+λ1β1+λ2β2=0 (4-20)
且必有λ1，λ2不全为零(否则λ1=λ2=0，则上述事实成为：存在k1，…，kn-1不全为零，使得k1α1+…+kn-1αn-1=0，这与α1，…，αn-1线性无关矛盾).因此，如能证明λ1β1+λ2β2=0，则本题得证.
用λ1β1+λ2β2与(4-20)式两端作内积，得
由内积的线性性质，得
由题设条件有〈αi，βj〉=0(i=1，…n-1；j=1，2)，故得
‖λ1+β1λ2β2‖2=0
即λ1β1+λ2β2=0，其中常数λ1，λ2不全为零，故β1，β2线性相关.设由线性无关向量组α1，αn-1生成的向量空间为W，即W为Rn的n-1维子空间.由本题条件知β1，β2都与W正交，即，其中W⊥为w的正交补子空间.利用正交补子空间的概念(见第6章)，可知W⊥为Rn的1维子空间，因而W⊥中任何两个向量β1和β2都是线性相关的.