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设α是n维列向量 A是n阶方阵 如果Am－1α≠0 Amα=0．证明：α Aα … Am－1α线性无关．

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设α是n维列向量，A是n阶方阵，如果Am-1α≠0，Amα=0．证明：α，Aα，…，Am-1α线性无关．

热搜：n维列向量组a1,an-1线性无关,且与非零向量正交

答案解析

难度★★☆ 搜索

  • [证明]设k1α+k2Aα+…+kmAm-1α=0，用Am-1左乘此式的两边有
       k1Am-1α+k2Amα+…+kmA2m-2α=0，
       由已知条件Am-1α≠0，Amα=0，知k1=0，故
       k2Amα+…+kmA2m-2α=0，
       即
       k2Aα+k3A2α…+kmAm-1α=0.
       用Am-2左乘此式的两边有
       k2Am-1α+k3Amα…+kmA2m-3α=0，得k2=0，依此类推可知k1=k2=…=km=0．从而α，Aα，…，Am-1α线性无关．[小结]本题利用了线性无关的定义来证明，关键在于理解：由条件Amα=0可得Am+iα=Ai(Amα)=0，i∈N．