如果A是实对称矩阵并且A是幂零矩阵则A=0．

大学 2022-01-27 21:32:55 矩阵,正确答案已帮助人

如果A是实对称矩阵，并且A是幂零矩阵，则A=0．

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正确答案：假设A≠0因A是n级实对称矩阵则一定正交相似于一个对角矩阵即一定有一组不全为零的特征值λ1λ2…λn.设A的一个不为零的特征值为λ0则必有Aα=λ0α(α≠0)两边左乘A有A2α=λ0Aα=λ02α…依次继续下去有Alα=λ0lα．又因为Al=0即λ0α=0α≠=0只有λ0=0与题设矛盾．所以A=O．
假设A≠0,因A是n级实对称矩阵,则一定正交相似于一个对角矩阵,即一定有一组不全为零的特征值λ1,λ2,…,λn.设A的一个不为零的特征值为λ0,则必有Aα=λ0α(α≠0),两边左乘A有A2α=λ0Aα=λ02α,…,依次继续下去有Alα=λ0lα．又因为Al=0,即λ0α=0,α≠=0只有λ0=0与题设矛盾．所以A=O．

如果A是实对称矩阵 并且A是幂零矩阵 则A=0．