任意的一个n阶方阵一定可以相似一个对角阵。
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设A=(a ij ) n×n ，采用数学归纳法来证明． 当n=1时，定理显然成立．假设n=k-1时定理成立，下面证明n=k时定理也成立． 设A=(a ij ) k×k 的k个特征值为λ 1 ，λ 2 ，…，λ k ，且对应于特征值λ 1 的一个特征向量为x 1 ∈C k ，扩充向量x 1 为向量空间C k 的基，并记增加的向量为x 2 ，…，x k ．令P 1 =[x 1 ，x 2 ，…，x k ]，则P 1 可逆，且有 AP1=[Ax 1 Ax 2 … Ax k ]=[λ 1 x 1 Ax 2 … Ax k ]． 由于Ax j ∈C k (j=2，…，n)，所以Ax j 可由C k 的基x 1 ，x 2 ，…，x k 线性表示，即 Ax j =b 1j x 1 +b 2j x 2 +…+b kj x k (j=2，…，k)． 于是 记A 1 为上式右端矩阵右下角的k-1阶子矩阵，则上式可写为 易见，A 1 的k-1个特征值为λ 2 ，…，λ k ．对于k-1阶矩阵A 1 ，由归纳法假设，有k-1阶可逆矩阵Q，使得 令 ，P=P 1 P 2 则有 根据归纳法原理．对于任意正整数n，定理成立． 证毕．