偶数阶群中阶为2 的元素的个数一定是奇数。
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设(G，m)是阶为n的循环群，即|G|=n(n是偶数)．任取a∈G，a n =e(m＞2)，a的阶为m，a的逆元素a -1 G，故 ，由群的性质，知a -1 的阶也是m，则必定有a≠a -1 反证法，若a=a -1 ，则a 2 =e，所以a的阶不大于2，这与m＞2矛盾，所以有a≠a -1 ，即当a的阶大于2时，a与它的逆元素总是成对出现的． 又因为群中唯一的单位元素e的阶为1，此时阶大于2的元素个数是偶数，加上单位元e,个数为奇数了，剩下那些阶为2的元素的个数必须为奇数，才能满足所给条件n是偶数．得证．