求平面的一般方程：过点M1（3 -5 1）和M2（4 1 2）且垂直于平面x-8y+3z-1=0的平面.

(1)设分别平行于x轴，y轴，z轴的三个平面分别为 π 1 ：b 1 y+c 1 z+d 1 =0， ① π 2 ：a 2 x+c 2 z+d 2 =0，② π 3 ：a 3 x+b 3 y+d 3 =0，③ 将点M 1 (2，-1,1)，M 2 (3，-2，1)分别代入①，②，③ 分别解④，⑤，⑥得 b 1 :c 1 :d 1 =0:1:(-1)， a 2 :C 2 :d 2 =0:1:(-1)， a 3 :b 3 :d 3 =1:1:(-1)， 所以π 1 ，π 2 ，π 3 的方程分别为 z-1=0，z-1=0，x+y-1=0． (2)因为平面在x轴和y轴上的截距分别为-2和-3，所以可设所求平面的截距式方程 将M(3，2，-4)代入上式 求得平面方程 即12x+8y+19z+24=0． (3)设所求的通过x轴，y轴，z轴的平面分别为π 1 ，π 2 ，π 3 ，它们的方程为 π 1 ：b 1 y+c 1 z=0， π 2 ：a 2 x+c 2 z=0， π 3 ：a 3 x+b 3 y=0. 因为平面5x+y-2z+3=0的法向量n={5，1，-2}，而所求平面垂直于平面5x+y-2z+3=0，所以也就与n平行，从而有 b 1 -2c 1 =0, 5a 2 -2c 2 =0, 5a 3 +b 3 =0， 所以b 1 :c 1 =2:1，a 2 :c 2 =2:5，a 3 :b 3 =(-1):5， 所以所求平面方程为 π 1 ：2y+z=0， π 2 ：2x+5z=0， π 3 ：-x+5y=0． (4)因为垂直于所求平面，所以所求平面的一个法向量为 n={1，-1，-3}， 又因为平面π经过点M 1 (3，-1，2)，因此所求平面的点法式方程为 (x-3)-(y+1)-3(z-2)=0, 化简整理得所求平面的方程为 x-y-3z+2=0． (5)因为垂直于所求平面，故可设所求平面方程为 2x+9y-6z+D=0， 将点P代入方程，得 4+81+36+D=0， 所以D=-121， 所以所求平面的方程为 2x+9y-6z-121=0. (6)解法一设所求平面的一般方程为 Ax+By+Cz+D=0， 因为所求平面与平面x-8y+3z-1=0垂直， 所以A-8B+3C=0，① 又因为所求平面过M 1 (3，-5，1)和M 2 (4，1，2)， 联立①，②，③解得 A:B:C:D=-13:1:7:37 所以所求平面的方程为 -13x+y+7z+37=0. 解法二因为平面x-8y+3z-1=0的法向量为v 1 ={1，-8，3}，而此平面与所求平面垂直，所以v 1 与所求平面平行，又因为所求平面过M 1 (3，-5，1)，M 2 (4，1，2)，所以所求平面平行，故由点位式得所求平面的方程 即-13x+y+7z+37=0。