求函数z=Ax2＋2Bxy＋Cy2在条件x2＋y2=1下的最大值和最小值．
最大值,函数,条件
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求函数z=Ax2+2Bxy+Cy2在条件x2+y2=1下的最大值和最小值．
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这是一个条件极值问题．为此，作拉格朗日函数
L(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2+λ(x2+y2-1)，
并且得到方程组
由x2+y2-1=0知x与y不全为零，故满足上述方程的λ必须满足方程
(4)
当判别式Δ=(A+C)2-4(AC-B2)=(A-C)2+4B2=0时，所需研究的函数在单位圆x2+y2=1上恒取常数，无研究价值．因此，必须假设Δ＞0，此时方程(4)有两个不相等的实数根，记为λ1和λ2(不妨设λ1＜λ2)．
将(1)式乘以x，(2)式乘以y后相加，再利用(3)式，即得
z=Ax2+2By+Cy2=-λ(x2+y2)=-λ
这便说明函数z=Ax2+2Bxy+Cy2在条件x2+y2=1下可能的极大值与极小值一定包含于上述方程组关于λ的解之中．因此，-λ1与-λ2分别是可能的条件极大值与条件极小值．
由于函数z=Ax2+2Bxy+Cy3在单位圆x2+y2=1上连续且非常数函数，故必定会取得最大值与最小值．因此，-λ1与-λ2就是该函数在条件x2+y2=1下的最大值与最小值．