设X Y Z均为距离空间 f是X到Y中的映射 g是Y到Z中的映射 证明： （1)若f g连续 则复合映射连续； （2)若f g是
距离,空间
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设X，Y，Z均为距离空间，f是X到Y中的映射，g是Y到Z中的映射，证明：
(1)若f，g连续，则复合映射连续；
(2)若f，g是一对一的，则gοf，也是一对一的，反之若gοf是一对一的，则f是一对一的。举例说明，此时g未必是一对一的。试找出gοf是一对一的充分必要条件；
(3)f，g是同胚映射，则gοf也是同胚映射。
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(1)设G是Z中任一开集，由F，g连续性，g-1(G)是Y中开集，f-1(g-1(G))是X中开集，即(gοf)-1(G)是X中开集，故
(gοf)(x)=g(f(x))
连续。
(2)设f，g是一对一的，若x1，x2∈X且x1≠x2，则
f(x1)≠f(x2)， g(f(x1))≠g(f(x2))，
即(gοf)(x1)≠(gοf)(x2)；(gοf)是一对一的。
设(gοf)是一对一的，假若，非一对一的，即存在x1≠x2，有
f(x1)=f(x2)
从而gοf(x1)=gοf(x2)，这与gοf是一对一的矛盾。故f非一对一的。
当gοf是一对一时，g未必是一对一的。例如：
f:[0，+∞)→[0，+∞)，f(x)=x，
g:(-∞，+∞)→[0，+∞)，g(x)=x2
gοf是一对一时，而g非一对一的。
可以证明gοf是一对一的一个充分必要条件是f是一对一的且g在f(x)上是一对一的。
(3)(gοf)-1=f-1οg-1，由(1)知gοf与(gοf)-1均连续。故gοf是同胚映射。