设g(·)是可测集G上的可测函数 如果对任何 f∈LP(G) (1<P<∞) g(·)f(·)可积 则g∈Lq(G) 这里P q互为相伴数。
函数
已帮助 人
-
设1<q<∞,令
则
作LP(G)上的线性泛函如下:
Fn(f)=∫Gf(t)gn(t)dt
易知Fn∈(Lq(G))*,且‖Fn‖=‖gn‖q因为g(t)∈L(G),故gn几乎处处收敛于g又因为
|gnf(t)|≤|g(t)f(t)|∈L(G),
由勒贝格控制收敛定理知,对每个f∈LP(G),有
根据共鸣定理可得
‖gn‖q≤M(M>0为常数),
再由法杜定理可得
即
g(t)∈Lq(G)
