设g(·)是可测集G上的可测函数 如果对任何 f∈LP(G) (1<P<∞) g(·)f(·)可积 则g∈Lq(G) 这里P q互为相伴数。

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设g(·)是可测集G上的可测函数,如果对任何

  f∈LP(G) (1<P<∞),

  g(·)f(·)可积,则g∈Lq(G),这里P,q互为相伴数。

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答案解析

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  • 设1<q<∞,令
       
       则
       
       作LP(G)上的线性泛函如下:
       Fn(f)=∫Gf(t)gn(t)dt  
       易知Fn∈(Lq(G))*,且‖Fn‖=‖gn‖q因为g(t)∈L(G),故gn几乎处处收敛于g又因为
       |gnf(t)|≤|g(t)f(t)|∈L(G),
       由勒贝格控制收敛定理知,对每个f∈LP(G),有
       
       根据共鸣定理可得
       ‖gn‖q≤M(M>0为常数),
       再由法杜定理可得
       
       即
       g(t)∈Lq(G)