设‖·‖是C[a b]上的完备范数使得若‖xn－x‖→0 则对每个t∈[a b] xn（t)→x（t)。证明‖·‖等价于上确界范数‖·‖∞
证明题
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设‖·‖是C[a，b]上的完备范数使得若‖xn-x‖→0，则对每个t∈[a，b]，xn(t)→x(t)。证明‖·‖等价于上确界范数‖·‖∞
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设X1表示C[a，b]赋有给定的范数‖·‖，X2表示C[a，b]赋有上确界范数‖·‖∞。它们都是Banach空间。考虑恒等映射I：X2→X1。则，是线性的。为了证它的图像是闭的。设在X2中xn→n在X1中I(xn)→y，即当n→∞时有‖xn-x‖∞→0且‖I(x)-y‖→O。所以
‖xn-y‖=‖I(xn)-y‖→0
由题设条件知对每个t有xn(t)→y(t)。由于
|xn(t)-x(t)|≤‖xn-x‖∞→0，
从而对每个t∈[a，b]均有y(t)=x(t)。因此y=x=I(x)。这就证明了I的图像是闭的。由闭图像定理知I是连续的。所以存在α＞0使得对所有x有‖Ix‖≤α‖x‖∞类似地，知存在β＞0使得对所有x有‖x‖∞≤β‖x‖。这就证明了要证的结果。