设f1和f2是线性空间X上的两个线性泛函。证明若它们有相同的零空间 则存在非零常数k使得对所有x∈X有f2(x)=kf1
线性,常数,空间
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设f1和f2是线性空间X上的两个线性泛函。证明若它们有相同的零空间,则存在非零常数k使得对所有x∈X有f2(x)=kf1(x)
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若对所有x∈X,有f1(x)=0,因Z(f2)=Z(f1)=X,则对所有x∈X,f2(x)=0,这种情形可以取任意k≠0。所以假设对某个x0,f1(x0)≠0,则f2(x0)≠0。设
则k≠0。若x∈X,设则
f1(x)=α/f1(x0)=f1(αx0),
f1(x-αx0)=0,
x-αx0∈Z(f1)=Z(f2)
所以f2(x-αx0)=0。则
f2(x)=αf2(x0)=αkf1(x0)=kf1(x)
这就证明了结论。
