试证明随机过程{X(t)=Acosωt+Bsinωt t∈(-∞ +∞)}(ω为常数)是宽平稳过程的充要条件是:A与B是互不相关随机变量

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试证明随机过程{X(t)=Acosωt+Bsinωt,t∈(-∞,+∞)}(ω为常数)是宽平稳过程的充要条件是:A与B是互不相关随机变量,即Cov(A,B)=0,且具有零均值与等方差。

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答案解析

难度★★☆ 搜索
  • 充分性:若Cov(A,B)=0,E(A)=E(B)=0,D(A)=D(B)=σ2则
       (1)E[X(t)]=E(A)cosωt+E(B)sinωt=0
       (2)E[X2(t)]=E(A2cos2ωt+B2sin2ωt+2ABsinωtcosωt=σ2(sin2ωt+cos2ωt)+E(A)E(B)sin2ωt=σ2<+∞
       (3)RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[(Acosωt1+Bsinωt1)(Acosωt2+Bsinωt2)]=E[A2cosωt1cosωt2+B2sinωt1sinωt2+AB(sinωt1cosωt2+cosωt1sinωt2)]=σ2cosω(t2-t1))=RX(t2-t1)即X(t)是宽平稳过程。
       必要性:若X(t)是宽平稳过程,则满足以下3个条件:
       (1)常数C=E[X(t)]=E(Acosωt+Bsinωt)=C1cosωt+C2sinωt对任意t∈R成立,得
       C=C1=C2=0即
       E(A)=E(B)=0,且E(A2)=D(A),E(B2)=D(B),
       Cov(A,B)=E(AB)
       (2)E[X2(t)]=D(A)cos2ωt+D(B)sin2ωt+2Cov(A,B)sinωt cosωt<+∞得Cov(A,B),D(A),D(B)为有限值。
       (3)RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=D(A)cosωt1cosωt2+D(B)sinωt1sinωt2+Cov(A,B)sinω(t1+t2)由于RX(t1, t2)=RX(t2-t1)只能与t2-t1有关,E[X(t1)X(t2)]为常数,即
       D(A)cos2ωt+D(B)sin2ωt+Cov(A,B)sin2ωt=常数,代入上式得
       D(A)=D(B)=C3再以此结果代入上式得
       Cov(A,B)=0